ลองจินตนาการดูว่า หากคุณสามารถเคลื่อนที่ไปมาได้แค่บนเส้นเชือกเดียว ก็คือโลกของแกนจำนวนจริง ถ้าคุณอยากกระโดดขึ้นไป สายเชือกก็ไม่สามารถรองรับคุณได้ การนำเอาจำนวนเชิงซ้อนเหมือนการเพิ่มมิติใหม่ให้กับโลกของคุณ จำนวนเชิงซ้อนที่อยู่ในรูปแบบ $z = a + bi$ ไม่ใช่แค่จุดหนึ่งบนเส้นจำนวนอีกต่อไป แต่กลายเป็นพิกัด $(a, b)$ บนระนาบ หรือเป็นเวกเตอร์ที่เริ่มต้นจากจุดกำเนิด ความสัมพันธ์อันสมบูรณ์แบบระหว่าง 'ตัวเลข' และ 'รูปร่าง' นี้ ถือเป็นก้าวสำคัญที่ยิ่งใหญ่ที่สุดในประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์
นิยามทางพีชคณิตและภาพสะท้อนทางเรขาคณิตของจำนวนเชิงซ้อน
ในหนังสือเรียนเล่มที่ 1 ภาคบังคับที่เลือกได้ เราได้เรียนรู้ระบบจำนวนเชิงซ้อน จำนวนเชิงซ้อนประกอบด้วยส่วนจริงและส่วนจินตภาพโดยรูปแบบพีชคณิตมาตรฐานคือ $z = a + bi$ ($a, b \in \mathbb{R}$)
เพื่อเข้าใจจำนวนเชิงซ้อนอย่างชัดเจน เราได้สร้างระนาบเชิงซ้อนโดยที่
- แกนจริงตรงกับแกน $x$ แสดงส่วนจริงของจำนวนเชิงซ้อน
- แกนจินตภาพตรงกับแกน $y$ แสดงส่วนจินตภาพของจำนวนเชิงซ้อน
- จุดกับจำนวนเชิงซ้อนจำนวนเชิงซ้อน $z = a + bi$ จับคู่กับจุด $Z(a, b)$ อย่างเป็นหนึ่งต่อหนึ่ง
- เวกเตอร์กับจำนวนเชิงซ้อนจำนวนเชิงซ้อน $z = a + bi$ จับคู่กับเวกเตอร์ในระนาบ $\vec{OZ}$ อย่างเป็นหนึ่งต่อหนึ่ง
โมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อน $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ มีความหมายเชิงเรขาคณิตคือระยะทางจากจุด $Z$ ในระนาบเชิงซ้อนไปยังจุดกำเนิด ส่วน $|z_1 - z_2|$ คือระยะห่างระหว่างจุดสองจุด
$$z = a + bi \iff Z(a, b) \iff \vec{OZ}$$